František Adámek se narodil 20. srpna 1919 v Leštině v okrese Zábřeh do české rodiny Františka Adámka a jeho ženy Marie, rozené Soukupové. Po základním vzdělání se vyučil zedníkem.
Krátce po nacistické okupaci překročil 8. srpna 1939 hranice Protektorátu Čechy a Morava a 10. srpna se přihlásil na zastupitelství v Krakově jako dobrovolník do vznikající československé vojenské jednotky. Stejně jako řada jeho druhů byl po porážce Polska od 19. září 1939 internován v táborech v Sovětském svazu, odkud se dostal v transportu, vypraveném 11. března 1941, na Střední východ.
Znovu jej odvedli v Haifě 23. března a 2. dubna zařadili k Československému výcvikovému středisku – Východnímu a vtělili k výcvikové rotě. Dne 3. května ho přeložili k 4. rotě Československého pěšího praporu 11 – Východního a 31. května odešel se svou jednotkou na bojiště.
Od 2. září do 2. října téhož roku musel být hospitalizován, potom se znovu vrátil ke svému útvaru na frontu. Obrana klíčové spojenecké pevnosti na severoafrickém pobřeží se mu ale stala osudnou. Dne 21. listopadu 1941 plnil službu pozorovatele a kulometčíka na předsunutém stanovišti, když ho při německém ostřelování zasáhla střepina a přeťala mu krční tepnu. Vojín František Adámek svému fatálnímu zranění na místě podlehl. Následujícího dne, 22. listopadu, byl s vojenskými poctami pohřben na War Cemetery v Tobrúku, do hrobu 29B. V den smrti byl povýšen na svobodníka in memoriam. Ještě za války byl posmrtně vyznamenán Československým válečným křížem 1939 a Československou vojenskou pamětní medailí se štítkem SV.
Jeho podobizna byla použita pro předlohu dvou známek takzvaného Londýnského vydání, na nichž bylo zobrazeno osm padlých hrdinů československého druhého odboje, každý ve dvou nominálních hodnotách. Adámek se objevil na známkách v hodnotách 60 haléřů a 10 korun.