Po studiu na nižším reálném gymnáziu maturoval v roce 1934 na průmyslové škole stavební v Brně‑Řečkovicích. Vojenskou prezenční službu nastoupil v roce 1935 u dělostřeleckého pluku 106. Poté absolvoval Vojenskou akademii v Hranicích a v srpnu 1937 byl slavnostně vyřazen v hodnosti poručík dělostřelectva. V době mobilizace v roce 1938 velel 3. baterii 1. oddílu dělostřeleckého pluku 125 na jižní Moravě u Hrušovan.
Po německém vpádu 15. března 1939 odešel v květnu 1939 ilegálně přes Polsko a Švédsko do Velké Británie. Měsíc působil ve vojenské kanceláři při čs. vyslanectví v Londýně a 2. října 1939 vstoupil do čs. exilové armády. V dubnu 1940 odjel do Francie, kde byl 16. dubna v Agde přidělen k dělostřeleckému pluku 1 československé 1. divize. Po pádu Francie byl v červenci 1940 evakuován do Velké Británie. Od srpna 1940 sloužil jako dělovod v důstojnické baterii kanonů proti útočné vozbě 1. čs. smíšené brigády.
V březnu 1941 byl povýšen na nadporučíka dělostřelectva a v prosinci téhož roku se oženil s Hildou Weisskopfovou. Od února 1943 se stal velitelem čety kanónů proti útočné vozbě velitelské roty pěšího praporu 1. Po reorganizaci čs. jednotek ve Velké Británii na Československou samostatnou obrněnou brigádu se stal zbrojním důstojníkem a velitelem zálohy řidičů tanků tankového praporu 1.
Vzhledem k přebytku důstojníků u čs. jednotek ve Velké Británii si podal žádost o přemístění k čs. jednotkám na východní frontě, kde byl důstojníků naopak nedostatek. V květnu 1944 se manželům Vránovým narodila dcera Věra. V létě 1944 František Vrána odcestoval do Sovětského svazu, kde 9. září v probíhající Karpatské ofenzivě, jak se Karpatsko‑dukelská operace nazývá v čs. úředních spisech, nastoupil službu u štábu 1. tankového praporu 1. československé samostatné tankové brigády v SSSR. Po zranění npor. Bohuslava Novotného převzal 25. září velení 1. tankového praporu. Padl v boji v prostoru obce Zyndranowa 30. září 1944, osádka jeho tanku byla zajata. Tělo nadporučíka Františka Vrány bylo nalezeno až po týdnu, úředně byl veden od 1. října 1944 jako nezvěstný. František Vrána byl povýšen do hodnosti majora in memoriam. V roce 1969 obdržel čestný titul Hrdina ČSSR a Zlatou hvězdu Hrdiny ČSSR.